Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου στο τραπέζιο σε μορφή word

Τραπέζιο

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και η διάμεσός του ΕΖ. Αν οι μη παράλληλες πλευρές

   του ΑΔ, ΒΓ τέμνονται στο Κ και Η, Θ είναι τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα, να

   αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ, Η, Θ είναι κορυφές τραπεζίου. 

2. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ   

   (ΑΒ = ΑΓ), να αποδείξετε ότι το ΔΕΓΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 

3. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο Ο. Αν Ε, Ζ, Η, Θ είναι

   τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές   

   τραπέζιο. 

4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΔ και

   ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 

5. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ< ΓΔ. Να αποδείξετε ότι:

   .

6. Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία ε που δεν τέμνει το τρίγωνο και ας είναι

   ΒΒ' και ΓΓ΄ οι αποστάσεις των Β και Γ από την ευθεία ε. Αν Μ είναι το μέσο της Β'Γ' και

   Κ το μέσο της διαμέσου ΑΔ να αποδείξετε ότι .

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσο του ΕΖ στο

   Η. Να αποδείξετε ότι . 

2. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Μ είναι το μέσο της ΑΒ. Αν η μεσοκάθετος της ΑΒ

   τέμνει την ΑΓ στο Ζ και η παράλληλη από το Ζ προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Η, να

   αποδείξετε ότι ΓΗ = ΑΖ. 

3. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με και . Αν ΑΒ = 2α και ΒΓ = α να

   υπολογίσετε τη διάμεσο ΕΖ, ως συνάρτηση του α. 

4. Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, η μία από τις μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ είναι ίση με το

   άθροισμα των βάσεων. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι . 

5. Από το μέσο Ε της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) φέρουμε

   παράλληλη προς την ΑΔ που τέμνει τη ΔΓ στο Μ. Να αποδείξετε ότι ΒΜ ⊥ ΔΓ. 

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ

   αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 

7. Αν σε τραπέζιο η μία βάση είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι  

    χωρίζουν τη διάμεσο σε τρία ίσα τμήματα. 

8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ = 3ΑΒ και Κ, Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΔΒ

    και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το ΑΚΛΒ είναι παραλληλόγραμμο. Πότε αυτό είναι

    ορθογώνιο;

9. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με . Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ

   και ΔΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. Αν η προέκταση

   της ΑΗ τέμνει τη ΓΔ στο Θ, τότε ΘΔ = ΔΓ - ΑΒ.

10. Αν Α', Β', Γ', Δ', Κ' είναι οι προβολές των κορυφών και του κέντρου Κ

    παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα σε ευθεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές του προς

     το ίδιο μέρος της, να αποδείξετε ότι ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' + ΔΔ' = 4ΚΚ'. 

Σύνθετα θέματα

1. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) έχουμε ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των

   γωνιών  και  τέμνονται στη ΒΓ. 

2. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με και ΒΓ = 2ΓΔ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να

   αποδείξετε ότι . 

3. Μια ευθεία ε διέρχεται από την κορυφή Δ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και έχει

   εκατέρωθεν αυτής τις κορυφές Β και Γ. Αν Α', Β' και Γ' οι προβολές των Α, Β και Γ

   αντίστοιχα στην ευθεία ε, να αποδείξετε ότι ΑΑ' - ΓΓ' = ΒΒ' (με ΑΑ' > ΓΓ'). 

4. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ  και Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Από το

    μέσο Ζ του ΑΔ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Η.

Αν , να υπολογισθεί η γωνία . 

5. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ< ΓΔ, έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

   i) αν ΔΜ = ΔΓ και η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέμνει τη ΔΜ στο Ε, τότε ΑΜ = ΒΕ,
   ii) αν Ε είναι το μέσο της ΔΜ, τότε .

 askisopolis.gr